賭徒破產問題：破產機率公式與倍投失效的數學原因

不行。它假設每注只有兩種結果、贏的金額固定。老虎機的賠付從 0 到數千倍都有，代入會嚴重低估風險。老虎機請用 波動度模擬器。

問題長什麼樣

你有 i 元，對手有 N − i 元。每一局你以機率 p 贏對方 1 元，以機率 q = 1 − p 輸掉 1 元。玩到其中一方沒錢為止。

你先破產的機率是多少？

這個問題在十七世紀就被提出來，解也很乾淨。令 r = q ÷ p：

p ≠ q 時　破產機率 = (rᴺ − rⁱ) ÷ (rᴺ − 1)
p = q 時　破產機率 = 1 − i ÷ N

公平賭局（p = q = 0.5）的形式特別好記：破產機率就是「對手的錢佔總額的比例」。兩邊各有 1 萬，破產機率剛好一半。

公式裡的 i 和 N 都是「以單注為單位」的數字。這代表：本金 1 萬押 200，和本金 100 萬押 2 萬，破產機率完全一樣。

這是這個問題最實用的一個結論。多數人在調整風險時想的是「我帶多少錢」，但真正決定的是「我的錢等於幾注」。加大本金卻同時加大注碼，風險一點都沒有降低。

賭徒破產機率計算機的表格就是在呈現這件事：固定本金與目標，只改單注大小，破產機率的變化非常劇烈。

r = q ÷ p 是所有東西的核心，而它對 p 極度敏感。

p = 0.5 時 r = 1，公式退化成線性的比例關係。p = 0.486（輪盤紅黑）時 r = 1.0576，看起來只比 1 大一點點——但它被拿去做 N 次方。

N = 100 注時，r¹⁰⁰ ≈ 269。這個指數放大就是莊家優勢的運作機制：單注的 1.4 個百分點劣勢，在一百注之後變成三百倍的不對稱。

這也解釋了為什麼「多玩幾把把運氣拉平」在有劣勢時是反效果。注數越多，指數越大，劣勢累積得越徹底。

馬丁格爾（輸了加倍）的直覺是：只要贏一次就能把之前的損失全部補回來，而連輸很多次的機率很低。

這個直覺沒有錯，但它漏了另一半：那個「很低的機率」對應的是極大的損失。兩者相乘之後，期望值完全沒有改變——因為每一注的期望值都是負的，而任何注碼序列都只是負期望值的線性組合。

倍投真正做的事是改變結果的形狀：把「多數時候小輸」換成「多數時候小贏，偶爾巨額損失」。它讓短期的體驗變好，讓長期的災難變大。

而且它會撞到兩堵牆：你的資金上限，以及賭桌的注金上限。任何一堵牆先到，序列就斷了，之前累積的損失全部實現。

完整的算例在馬丁格爾策略為什麼會輸：本金 1 萬、底注 100 元押輪盤紅黑，連輸六把的機率、每一輪的期望值，以及倍投與平注的蒙地卡羅對照。

公式的另一個用法是回答「該設多高的目標」。

在有劣勢的賭局裡，達標機率隨目標上升掉得非常快。本金 1 萬、單注 200、勝率 48.6%：想賺 2,000 元的達標機率是 55.6%，想翻倍（賺 1 萬）只剩 5.7%。

注意這不代表「目標訂低比較划算」——期望值不會因此變正。低目標換來的是「多數時候小賺、偶爾大賠」的分布，把兩邊乘上機率加總，仍然是負的。這是必然的結果，不是巧合。

這個公式可以用在老虎機上嗎？

不行。它假設每注只有兩種結果、贏的金額固定。老虎機的賠付從 0 到數千倍都有，代入會嚴重低估風險。老虎機請用波動度模擬器。

如果沒有目標，一直玩下去呢？

在有劣勢的情況下，破產機率是 1。也就是說：只要玩得夠久且不設停利，資金歸零是確定會發生的事，不是機率問題。

為什麼公平賭局也會破產？

因為資金有限。即使 p = 0.5，隨機漫步遲早會碰到零，而零是吸收壁——碰到就結束了。破產機率取決於你離零有多遠、離目標有多遠。

三個參數裡有哪一個是我能動的？

能動的兩個都只調整風險的形狀。i 與 N（本金與目標各等於幾注）決定破產機率與獲利大小的取捨，但不改變期望值；真正決定期望值的是 p，而 p 由遊戲規則決定，不隨打法改變。