大樂透、威力彩的頭獎累積到多少，買一注的期望值才會轉正？

為什麼是這樣

一注彩券的期望值可以拆成三塊：固定獎、其他依銷售額分配的獎，以及頭獎。以大樂透每注 50 元為例：

伍獎到普獎（固定）   14.57 元
貳獎到肆獎（稅前）    2.42 元
頭獎     頭獎金額 ÷ 13,983,816

貳獎到肆獎依銷售額分配，這裡是稅前的平均。前兩塊加起來不到 17 元，而且跟頭獎多高無關。剩下的 33 元要靠頭獎補：頭獎每多 1 億元，一注的期望值多 7.15 元，扣稅後是 5.69 元。

威力彩每注 100 元：參獎到普獎的固定獎合計 21.05 元（參獎 15 萬元、肆獎 2 萬元超過扣繳門檻，稅後是 20.54 元），貳獎 3.73 元，頭獎每 1 億元只值 4.53 元、稅後 3.60 元。頭獎機率 1 / 22,085,448 比大樂透難 1.6 倍，售價又貴一倍，所以打平點高出好幾倍。

稅：單注獎金超過 5,000 元按全額扣 20% 所得稅，用現金或轉帳領再代扣千分之四印花稅，頭獎實拿 79.6%。細節見中獎扣稅計算。

平分：同一期有好幾注中頭獎時，獎金均分。頭獎越高買的人越多：威力彩平常一期約 60 萬注，頭獎超過 10 億元的期數中位數是 486 萬注。假設每個人的號碼是隨機的，本期賣出 n 注時，一張中頭獎的彩券平均拿到的比例是：

平分係數 = (1 − e^(−λ)) ÷ λ
λ = n ÷ 頭獎組合數

大樂透賣 575 萬注時這個係數是 0.82，等於頭獎先打八二折。這個模型對得上歷史：2023 年以來大樂透頭獎有人中 79 次，模型預期 80.9 次；其中兩注以上平分 8 次，模型預期 8.7 次。

三塊加起來、設成等於售價，解出來的頭獎金額就是打平點。頭獎越高的期數賣得越多、平分係數越低，打平點跟著往上推，所以它不是一個固定的數字。

什麼情況下不成立

• 平分模型假設大家的號碼是隨機的。很多人選生日（1 到 31）或連號，這類號碼開出時平分的機率更高，所以本頁的打平點偏樂觀。熱門號碼開出時，伍獎到普獎（威力彩是參獎到普獎）合計超過總獎金 75% 也會改成均分，固定獎拿到的會比獎金表少。

• 貳獎到肆獎沒人中時也會累積到下一期，這裡沒有算進去。有累積的那幾期期望值會多一點，量級在一元上下，改變不了結論。

• 官網的「頭獎預估金額」是銷售截止前的估計，實際頭獎依最後的銷售額計算。

• 期望值轉正不代表該買。 大樂透一注中頭獎的機率仍是 1 / 13,983,816，那一點正的期望值幾乎全部壓在那一注上：買 100 注，99.999% 的情況是全部落空或只中小獎。用凱利公式算，這種賭注該押的資金比例小到可以忽略。

• 官方偶爾會在特定期數加碼，那幾期的獎金結構跟平常不同，不能套這裡的數字。

• 這裡算的是台灣彩券的大樂透與威力彩。娛樂城的同名玩法賠率由平台自訂、沒有累積頭獎，期望值要用該平台的賠率重算。

自己查證的方法

1. 打開台灣彩券官網的大樂透或威力彩頁面，看「頭獎預估金額」，對照上面的打平點。

2. 在台灣彩券的「各期獎號及開獎結果」查任何一期，那裡列了銷售金額、各獎的中獎注數與每注獎金，可以拿來代進上面的算式。

3. 頭獎與各獎級的機率用樂透中獎機率計算機算。想自己組一注的期望值，把售價、頭獎實拿與機率、其他獎的平均獎金填進期望值計算機。