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樂透中獎機率與期望值

大樂透、今彩539、賓果賓果、六合彩——算出真正的中獎機率。

輸入條件

選一個會自動帶入號碼池與開獎數，台灣彩券的玩法連每注售價一起帶入。賠率各家不同，要自己填。

這個玩法一共有幾個號碼可以選。

想算頭獎就填「你選幾個」的同樣數字。

含本金的總派彩。官方彩券填公告獎金，娛樂城版本填該平台的賠率換算後金額。

長期期望值必為負，本站不提供任何提高勝率的方法。

算式

超幾何分布：從 N 個號碼中開出 K 個，你選 n 個，剛好中 k 個的機率

  P = C(K, k) × C(N−K, n−k) ÷ C(N, n)

其中 C(a, b) 是「從 a 個裡取 b 個」的組合數。

中獎機率 = P
幾分之一 = 1 ÷ P
全包注數 = C(N, n)
期望值 = 派彩 × P − 每注金額

另外 17 台計算機的算式列在公式總覽； 每一條算式怎麼驗、發現錯誤怎麼更正，寫在算式與更正政策。

以預設值為例

中獎機率
1 / 575,757
換成百分比
0.000174%
全包要買幾注
575,757注
這一注的期望值
-36元

自訂玩法：39 顆號碼開出 5 顆、你選 5 個要全中，每注 50 元、獎金 8,000,000 元。中獎機率是 1 / 575,757，換成百分比是 0.000174%，這一注的期望值 −36 元，返還率約 27.8%。全包這個玩法要買 575,757 注，成本 28,787,850 元——比獎金本身還多。

計算假設

  • 假設每個號碼被開出的機率相同，而且各期互相獨立。這對正規開獎的機制成立。
  • 期望值只算「剛好中 k 個」這一種情形。實際玩法多半有多個獎級，總期望值要把各獎級加總：結果卡的表格把各個中獎數的機率都列出來了，連同各獎級的獎金填進期望值計算機就能一次加總。
  • 沒有計入稅。台灣的彩券每注獎額超過 5,000 元，要按全額扣 20% 分離課稅，用現金或轉帳領還會代扣千分之四印花稅，用 中獎扣稅試算 算稅後金額。
  • 賠率與獎金要自己填。官方彩券的頭獎多半依銷售額與中獎人數分配、其他獎項是公告的固定獎額，娛樂城版本的賠率各家不同，本站不列任何獎金或賠率數字。

為什麼要用超幾何分布

因為開獎是不放回的抽樣：開出來的號碼不會再放回去，所以每一顆的機率會隨著前面的結果改變。

這跟丟骰子不同。丟骰子每一次都獨立，機率固定；開獎則是從一個逐漸變小的池子裡抽。超幾何分布就是描述這種抽樣的工具。

算式讀起來是這樣：分子是「你選中的號碼裡有幾個在開獎號碼中」乘上「其餘的號碼都不在開獎號碼中」的組合數，分母是「你這組選號的所有可能」。

幾個常見玩法的頭獎機率

直接把數字列出來，因為它們比任何形容詞都清楚：

  • 大樂透（1–49 選 6，中 6）：1 / 13,983,816
  • 六合彩（1–49 選 6，中 6）：1 / 13,983,816
  • 今彩539（1–39 選 5，中 5）：1 / 575,757
  • 迦納彩（1–90 開 5，選 5 中 5）：1 / 43,949,268
  • 賓果賓果（1–80 開 20，選 10 中 10）：1 / 8,911,711
  • 美國天天樂（1–39 開 5，中 5）：1 / 575,757，規則跟今彩539 一樣

今彩539 的頭獎機率是大樂透的二十四倍，這也是它獎金低很多的原因——兩者的期望值結構其實相近。

威力彩不在上面的清單裡：它多了第二區（1–8 選 1），不是單一號碼池的超幾何分布，這台計算機只算得到第一區。點玩法名稱可以看那一種玩法的完整說明。

「全包」要花多少

這是最能讓人有感覺的一個數字。

大樂透全包要買 13,983,816 注。每注 50 元的話是 6.99 億元。頭獎累積到七億才「值得全包」，而那還沒扣掉 20% 所得稅與千分之四印花稅，也沒考慮跟別人平分頭獎的可能。把稅和平分都算進去、只買一注的打平點，見大樂透頭獎累積到多少期望值才轉正。

今彩539 全包 575,757 注、每注 50 元是 2,878 萬元。這個數字看起來可行得多，也因此每隔一段時間就會有人認真討論——但同樣的問題還在：獎金要扣稅，同一期中獎的人太多時會改成均分，而且下面的獎級加總也補不回來。

這個工具的「全包要買幾注」那一欄就是在算 C(N, n)，你可以自己乘上注金看看。只包其中幾碼（今彩539 官方可以包 6 到 16 碼），注數與成本用 539包牌計算器 算。

常見誤解

常見說法選冷門號碼中獎機率比較高。

實際上每一組號碼的機率完全相同。選冷門號碼唯一的差別是：如果中了，跟你平分的人可能比較少。那影響的是獎金，不是機率。

常見說法連續號碼（1,2,3,4,5）比較不可能開出。

實際上跟任何一組特定號碼的機率一模一樣。看起來「不可能」是因為人腦把「有規律的組合」和「所有組合」放在不同的類別裡比較。

常見說法買越多注中獎機率成比例上升，所以買多划算。

實際上機率確實成比例上升，期望損失也成比例上升。買 10 注的期望值就是 1 注的十倍——包括那個負號。

常見說法這期沒開的號碼下期比較會開。

實際上開獎沒有記憶。每一期都是從完整的池子重新抽，前面的結果不影響後面的機率。熱門號碼與遺漏號碼的算法見 539熱門號碼有用嗎。

娛樂城的彩票版本要注意什麼

娛樂城提供的「六合彩」「美國天天樂」「迦納彩」等玩法，號碼規則通常沿用原本的彩種，但賠率是平台自己訂的，跟官方獎金結構無關。

這代表兩件事：

一、機率可以算（規則公開），但期望值要用該平台的賠率才算得出來。同樣的玩法在不同平台的期望值可能差很多。

二、娛樂城的賠率是自訂的固定倍數，官方彩券則是頭獎多半依銷售額分配、其他獎項公告固定獎額。固定倍數比較好算：賠率乘上機率，就是每押 1 元的期望回收。

本站不列任何平台的賠率數字——那種資料寫完就開始過期。把你實際看到的賠率填進上面的欄位，期望值那一格就會告訴你答案。

法規上要提醒一句：台灣彩券發行的大樂透、今彩539、賓果賓果屬合法管道；六合彩等地下組頭在台灣是違法的。這一頁算的是數學，不是在建議任何管道。

常見問題

今彩539 的中獎機率是多少？

頭獎（選 5 中 5）是 1 / 575,757，各獎級與全包成本整理在 今彩539 中獎機率。在這台計算機把「要中幾個」改成 4 或 3，就能自己驗算。

大樂透頭獎機率 1/1398 萬有多低？

連續買同一組號碼，平均要買一千三百多萬期才會中一次頭獎。大樂透一週只開兩期，每期買一注平均要十三萬多年，推導見 大樂透頭獎機率。

賓果賓果選幾個號碼最好？

要比的是期望值，不是機率。賓果賓果每一種星數有自己的固定獎金表，而且好幾個中獎數都有獎，這台計算機一次只算一個中獎數。要比較不同選號數，把每個中獎數的獎金與機率填進 期望值計算機 加總，做法見 賓果賓果怎麼玩。

為什麼期望值算出來是負的？

因為所有商業彩票的設計都是如此。官方彩券的返還率通常在 50% 到 60% 之間，比娛樂城遊戲的 96% 低很多——彩票是所有博弈形式裡莊家優勢最高的一類。

中獎要繳稅嗎？

台灣彩券的中獎獎金，每注超過 5,000 元就按全額扣繳 20%，屬分離課稅，不併入綜合所得總額；用現金或轉帳領還會代扣千分之四印花稅。境外或娛樂城的獲利屬海外所得，規則不同，詳見 中獎扣稅試算。

資料來源

免費使用、不需註冊。算式最後檢查： ｜每個工具都公開完整算式與假設條件，你可以自己驗算。若算式有誤請來信 service@evlab.tw，更正會標註日期。

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